1つのサイコロを3回投げて，二等辺三角形となる確率は？

問題

1つのサイコロを3回投げて，出た目の数を順にx,y,zとします。

解説

Q①解説

サイコロ1個に6通りの目の出方があり，3回投げるので
6×6×6=216

Q②解説

『二等辺三角形』になるためには，3つの出目のうち2つが等しく，
かつ
『三角形の成立条件』をすべて満たす必要があります。

以上を踏まえて，等しい辺の長さが1〜6であるとして，場合分けをして考えていきましょう。

（i）等しくなる辺の長さが1のとき

他の1辺の長さが「1以外（2以上，2〜6）」であることより，（＊1）を満たさないので，この条件に当てはまる二等辺三角形は，ない（0通り）。

例）x=1,y=1,z=2のとき，|1-1| < 2 < 1+1（？）

（ii）等しくなる辺の長さが2のとき

他の1辺の長さが「1または3」であれば（＊1）を満たす。

組み合わせは（2,2,1），（2,2,3）の2通り。
並べ替えは3通り。

よって，この条件に当てはまるサイコロの出方は二等辺三角形は，
2×3＝6（通り）

（iii）等しくなる辺の長さが3のとき

他の1辺の長さが「1または2または4または5」であれば（＊1）を満たす。

組み合わせは（3,3,1），（3,3,2），（3,3,4），（3,3,5）の4通り。
並べ替えは3通り。

よって，この条件に当てはまるサイコロの出方は二等辺三角形は，
4×3＝12（通り）

（iv）等しくなる辺の長さが4のとき

他の1辺の長さが「1または2または3または5または6」であれば（＊1）を満たす。

組み合わせは（4,4,1），（4,4,2），（4,4,3），（4,4,5），（4,4,6）の5通り。
並べ替えは3通り。

よって，この条件に当てはまるサイコロの出方は二等辺三角形は，
5×3＝15（通り）

（v）等しくなる辺の長さが5のとき

他の1辺の長さが「1または2または3または4または6」であれば（＊1）を満たす。

組み合わせは（5,5,1），（5,5,2），（5,5,3），（5,5,4），（5,5,6）の5通り。
並べ替えは3通り。

よって，この条件に当てはまるサイコロの出方は二等辺三角形は，
5×3＝15（通り）

（vi）等しくなる辺の長さが6のとき

他の1辺の長さが「1または2または3または4または5」であれば（＊1）を満たす。

組み合わせは（6,6,1），（6,6,2），（6,6,3），（6,6,4），（6,6,5）の5通り。
並べ替えは3通り。

よって，この条件に当てはまるサイコロの出方は二等辺三角形は，
5×3＝15（通り）

（i〜vi）の和を求める

0+6+12+15×3＝63（通り）

確率を求める

63/216＝7/24

63を素因数分解）3^2×7 となりますので，分母の6^3と約分する際に活用すると便利です

以上で解説は終了です。

順列，並べ替え，確率，図形…様々な単元の融合問題です。

難関校を目指す人は，解法の手順をよく理解しておきましょう。

それでは，本日もぼちぼちいきましょ〜🍵